Eres un As
Hay 7 cartas, boca abajo, sobre el tapete verde. Se sabe que entre ellas hay exáctamente dos cartas que son As, pero no se sabe en qué posición están.
Ponemos boca arriba dos cartas elegidas al azar. ¿Qué es más probable?
- Que haya al menos un As entre esas dos cartas
- Que no haya ningún As entre esas dos cartas
Supón que hubíeramos elegido las dos cartas al azar, y primero hubiéramos puesto boca arriba una sóla carta. Si esta fuera As, ¿sabrías decir qué probabilidad hay de que la segunda fuera también As?
Recuerda explicar lo mejor que puedas tus
soluciones.
Es más probable que no haya ningún As entre las dos porque 5/7 > 2/7
ResponderEliminarHola Mario, me alegra mucho que hayas participado en este concurso.
EliminarEn este caso, tu respuesta no es correcta. No has contado bien todas las formas de seleccionar 2 cartas de entre 7.
Si numeramos las cartas del 1 al 7. Contamos que hay 21 formas de coger 2 cartas (la 1 y la 2, la 1 y la 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 1 y 7, 2 y 3, 2 y 4, ..., 6 y 7).
Si suponemos que los 2 ases son las cartas 6 y 7, podemos contar todos los casos en los que hay al menos un as (esto es, todos los casos anteriores en los que esté la carta 6, la carta 7 o ambos). Estos son 11 de 21 (11/21), mientras que el resto de caso (no hay ningún as) son 10 de 21 (10/21), que claramente es menor que el caso anterior.
Para la segunda pregunta, hay que utilizar probabilidad condicionada:
P(1ª carta As y 2ª carta As) = P(1ª As) * P(2ª As sabiendo que la 1ª ha sido As) = 2/7 * 1/6 = 2/42 = 1/21 = 0,047.
Hola, respondiendo a la primera pregunta de este desafío, es más probable que toque una carta que no sea un As, ya que hay 5 cartas que no son un As y 2 cartas que si lo son por lo tanto por mayoría de cartas es más probable que toque una carta que no sea un As.
ResponderEliminarRespondiendo a la segunda pregunta, la probabilidad de que aparezca el segundo As es de 1 entre 7, y partiendo de eso se puede decir que es mas probable que no salga el segundo As.
Hola Thais, enhorabuena por haber participado en todos los desafíos de este concurso.
EliminarEn este caso, tu respuesta no es correcta. Hay que contar todas las formas de seleccionar 2 cartas de entre 7.
Si numeramos las cartas del 1 al 7. Contamos que hay 21 formas de coger 2 cartas (la 1 y la 2, la 1 y la 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 1 y 7, 2 y 3, 2 y 4, ..., 6 y 7).
Si suponemos que los 2 ases son las cartas 6 y 7, podemos contar todos los casos en los que hay al menos un as (esto es, todos los casos anteriores en los que esté la carta 6, la carta 7 o ambos). Estos son 11 de 21 (11/21), mientras que el resto de caso (no hay ningún as) son 10 de 21 (10/21), que claramente es menor que el caso anterior.
Para la segunda pregunta, hay que utilizar probabilidad condicionada:
P(1ª carta As y 2ª carta As) = P(1ª As) * P(2ª As sabiendo que la 1ª ha sido As) = 2/7 * 1/6 = 2/42 = 1/21 = 0,047.
Para el desafío de este mes, hay que calcular probabilidades:
ResponderEliminarLa primera cuestión pregunta si es más probable levantar al menos un as o ninguno al levantar dos cartas al azar de entre las siete que hay boca abajo. Para dar una respuesta, he calculado la probabilidad de que cada suceso ocurra y las he comparado. Para ello, lo que he hecho ha sido dividir los casos favorables entre la totalidad de casos posibles y multiplicar esto tantas veces como cartas se levantan, es decir:
La probabilidad de que al levantar la primera carta no salga un as es de 5/7 (hay cinco cartas que no son ases entre las siete totales), y la probabilidad de que no salga ningún as en la segunda es 4/6 (4 porque para que se cumpla este escenario la de antes no puede ser un as y 6 porque ya hemos levantado una carta). Esta operación (5/7*4/6) nos da como resultado que la probabilidad de no sacar ningún as es del 47'6%.
Por otra parte, para calcular la probabilidad de que salga al menos un as, hay que hacer la operación 2/7*2/6, ya que:
Para que se cumpla este escenario, da igual dónde salga el as. Por lo tanto, aunque no saliera en la primera carta, podría salir en la segunda (esto justifica por qué el 2 no cambia). Sin embargo, el denominador sí que cambia, ya que en la primera hay 7 cartas sobre la mesa y en la segunda hay 6. Esta operación nos da como resultado que la probabilidad de sacar al menos un as es del 9'5%.
Debido a esto, podemos afirmar que es más probable que no salga ningún as. Ya sin calcularlo, simplemente pensando, podemos ver que es así, ya que los ases son una minoría. Al haber más cartas que no son ases, es más probable que estas salgan.
La segunda cuestión, por su parte, plantea el siguiente escenario:
Si ya se ha sacado un as en la primera carta, ¿cuál es la probabilidad de sacar un as en la segunda?
Al quedar seis cartas y solo un as, la probabilidad es de 1/6, es decir, del 16'67%.
Tras leer esto último, puede que os parezca más fácil sacar dos ases de lo que realmente es. Aunque no lo pida el ejercicio, la probabilidad de sacar dos ases es solo del 4'8%:
Para calcularla, hay que multiplicar 2/7*1/6 (la probabilidad de sacar un as cuando quedan dos ases en siete cartas y la probabilidad de sacar un as cuando queda un as en seis cartas).
Muchas gracias por esta edición del cotimates.
Hola Sergio, en primer lugar quiero felicitarte por haber participado, una edición más, haciendo un concurso estupendo y esforzándote en explicar tus respuestas.
EliminarEn este caso, has enfocado bien la primera parte, calculando bien la probabilidad de no sacar ningún as, pero no la probabilidad de sacar al menos uno (observa que son sucesos complementarios; sabiendo la probabilidad de uno de ellos es 47,6%, la otra es 100-47,6=52,4%).
En cuanto a la segunda cuestión, la probabilidad que se pide es justo la que has dado al final, la probabilidad de sacar dos ases.
Buenas noches. Mi nombre es Martín Ávila Moyano. Aunque he dado bastantes vueltas a este acertijo, no creo haber dado con la solución correcta. No obstante, presentaré una opción que me parece bastante convincente, y la defenderé explicando los procesos seguidos hasta dar con la misma.
ResponderEliminarPrimero de todo, leí el desafío varias veces 2 ases estaban boca abajo sobre un tapete verde junto con otras 5 cartas más, pero no se sabía dónde exactamente.
De esas 7 cartas se debían escoger dos al azar y hallar que se citan a continuación era más probable que ocurriese:
- Que hubiera un as entre esas dos cartas
- Que no hubiera ningún as entre esas dos cartas
Antes de comenzar a pensar sobre cuál sería la solución correcta, debía tener claro que tipo de experimento es este al que me encontraba. Para ello, debía tener claros los siguientes conceptos:
- Experimento determinista: aquel experimento del que podemos deducir su resultado antes de llevarlo a cabo.
Ejemplo: Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará.
Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
- Experimento aleatorio: aquel experimento del que no podemos deducir su resultado, ya que este depende la mayoría de veces del azar.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado.
Teniendo en cuenta esas ideas y haciendo un pequeño esquema mental de cómo podría llegar a la respuesta correcta para este acertijo, ya podía empezar a actuar.
Al plantearme y reflexionar acerca de la primera cuestión y de sus dos posibles soluciones, recordé una ley matemática que nos explicaron hace unos años. Esta ley la enunció Pierre-Simon Laplace, un matemático, astrónomo y físico francés, y que tiene que ver muchísimo con la probabilidad:
LEY DE LAPLACE: P(A)= número de casos favorables / número de casos posibles
Honestamente, decidí aplicar esta fórmula porque me parecía algo lógico y sencillo, aunque sé que probablemente exista un principio matemático capaz de determinar de manera más eficaz si es más probable que haya un as entre las 2 cartas seleccionadas de manera aleatoria o que no haya ningún as.
Dicho esto, hice lo que sigue:
LEY DE LAPALACE: Probabilidad de suceso A = número de casos favorables / número de casos posibles.
LEY DE LAPLACE: P (al menos un as) = 1 / 7 = 0,142857142≈ 0,143
Habiendo hecho esta división, multipliqué el resultado obtenido por 100, para de esta manera conseguir disponer de la probabilidad de que haya al menos un as entre las 2 cartas seleccionadas de manera aleatoria; quedando así: 0,143 = 14,3 %
Como el enunciado de esta primea solución posible recita “como mínimo 1 as” realicé el proceso anterior sustituyendo esta vez el 1 por un 2 en el número de casos favorables; resultando lo que sigue:
LEY DE LAPALACE: Probabilidad de suceso A = número de casos favorables/número de casos posibles.
LEY DE LAPLACE: P (al menos un as) = 2 / 7 = 0,285714285≈ 0,286
Posteriormente, multipliqué el resultado por 100 para obtener el resultado obtenido, probabilidad de que las 2 cartas aleatorias sean ases, quedando esto: 0,286 = 28,6 %
Probabilidad de que haya al menos 1 as: 14,3 % (si solo hubiera un as) y 28,6 % (si estuvieran los dos ases).
Seguiré con mi explicación en otro comentario, pues este resulta demasiado extenso.
Segunda parte del comentario de Martín Ávila Moyano:
ResponderEliminarYa conociendo los resultados de arriba, pasé a aplicar de nuevo la ley de Laplace para poder conocer la probabilidad de que las dos cartas que se sacan de forma totalmente aleatoria no sean ases. Al hacerlo, caí en la cuenta de que era más fácil resolver esto mismo aplicándolo y planteándolo de otra manera, con otro punto de vista: resultaba más sencillo calcular la probabilidad de que saliesen 5 cartas diferentes de as en lugar de calcular la probabilidad de que no saliera ningún as de entre las dos cartas escogidas. De esta manera, llegué a la idea siguiente:
LEY DE LAPALACE: Probabilidad de suceso A = número de casos favorables / número de casos posibles.
LEY DE LAPLACE: P (al menos un as) = 5/7 = 0,714285714≈ 0,714
Multiplico el resultado por 100 para obtener el resultado en porcentaje: 0,714 = 71,4 % (si ninguna de las dos cartas fuera as, es decir, la probabilidad en porcentaje de que salgan 5 cartas diferentes de as).
Así, llegamos a la conclusión de que es más probable de que no haya ningún as entre esas dos cartas en vez de que haya un as entre esas mismas dos cartas escogidas al azar.
Ahora me tocó pasar a la segunda parte del desafío: “Supón que hubíeramos elegido las dos cartas al azar, y primero hubiéramos puesto boca arriba una sóla carta. Si esta fuera As, ¿sabrías decir qué probabilidad hay de que la segunda fuera también As? “
Llegados a este punto, decidí utilizar una fórmula que es empleada, normalmente, para hallar la probabilidad de un evento que ha sido condicionado por otro: la fórmula para la probabilidad condicionada. Aunque, repito, la solución que estoy proponiendo para este acertijo sea probablemente errónea, se me vino a la cabeza esta fórmula ya que es ampliamente usada para resolver problemas en los que un suceso o evento “A” ocurre, condicionando que tenga lugar o que no ocurra un proceso “B”. Esto yo lo vi así:
“A”= sacar un as de entre las dos cartas (caso que ocurre y que desata un evento “B”)
“B”= sacar un as habiendo ya sacado un as (que ocurra “B”, es decir, sacar un as, teniendo en cuenta que “A”, sacar un primer as de entre las dos cartas aleatorias, ya ha ocurrido).
Terminaré de explicar mis argumentos en un tercer y último comentario, porque este es muy largo.
Tercera y última parte del comentario de Martín Ávila Moyano:
ResponderEliminarPROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicionada se basa, normalmente, en la siguiente fórmula:
IMPORTANTE: ? = intersección
P(B|A)= P(A ? B) / P(A)
“Probabilidad de que ocurra el suceso A sabiendo que B ha ocurrido”, esa es la frase que me ayudó a comprender porque la fórmula para resolver este acertijo era la indicada anteriormente. La razón de ello es que transformé esa frase al lenguaje escrito, para así visualizar lo que iba a hacer de manera más nítida: (recordando que ? es igual a intersección)
P(B|A): probabilidad de que ocurra el evento “B” habiendo ocurrido el evento “A”.
P(B?A): probabilidad de evento “A” intersección evento “B”
P(A): probabilidad de ocurrencia del evento “A”
De esta manera, decidí nombrar al evento “A” como la probabilidad de sacar un as de dos cartas aleatorias. De esta manera, el evento “B” sería igual a que la segunda carta aleatoria fuera un as habiendo ocurrido el evento “A”, es decir, que la primera carta también hubiera sido un as. A partir de ahí, me fui a la fórmula y fui sustituyendo poco a poco las incógnitas a y B por los valores de mi experimento, quedando de la siguiente manera.
Cuando iba a sustituir dichos valores para cambiar a los eventos “A” y “B”, me di cuenta de que era necesario despejar la ecuación planteada, ya que era necesario despejar “A intersección B”, ya que es, por así decirlo, una intersección de eventos, que es lo que nos interesa en este desafío. Conociendo que en el caso 1, hemos El despeje quedó así:
(P(B|A) = P(A ? B) / P(A) ; P(A ? B) = P(A) * P(B|A)
P(A) = 1 / 2 (de entre dos cartas seleccionadas al azar, una es un as. Lo hice con la ley de Laplace)
P(B|A) = 1 / 6 (tan solo hay un as restante entre las 6 cartas que quedan)
Teniendo esto, multipliqué ambas fracciones, obteniendo como resultado 1/12 = 0,083333333…. Dicho resultado lo multipliqué por 100 para obtener la probabilidad en porcentaje, obteniendo que la probabilidad de sacar un as habiendo ya sacado un primero de entre las dos cartas aleatorias era de 8,33333333 %.
Conclusión: la probabilidad de obtener un as de entre las dos cartas aleatorias seleccionadas al azar habiendo ya obtenido otro as es de 8,33 %.
En resumen, en la primera pregunta formulada en el desafío es más probable que NO salga ningún as. A la segunda pregunta, la respuesta que propongo es que la probabilidad de sacar un as después de haber ya sacado un primero de entre esas dos cartas aleatorias, es de 8,33 % (aproximadamente, ya que la cifra 3 de este número decimal es periódico).
Aunque no quedo muy satisfecho con mi repuesta, espero haberla argumentado correctamente.
Un saludo.
Hola Martín, en primer lugar quiero felicitarte por el magnífico concurso que has hecho y por la extensas y pormenorizadas respuestas. ¡Enhorabuena!
EliminarEn cuanto a tus respuestas de este desafío, las has enfocado y razonado bien, pero has cometido algunos errores que han hecho que no hayas obtenido las respuestas finales correctas.
En efecto hay que utilizar la Ley de Laplace.
*En la primera pregunta, para hacerlo de manera simple, sin usar la probabilidad condicionada, es más fácil razonar asi:
Hay que contar todas las formas de seleccionar 2 cartas de entre 7.
Si numeramos las cartas del 1 al 7. Contamos que hay 21 formas de coger 2 cartas (la 1 y la 2, la 1 y la 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 1 y 7, 2 y 3, 2 y 4, ..., 6 y 7).
Si suponemos que los 2 ases son las cartas 6 y 7, podemos contar todos los casos en los que hay al menos un as (esto es, todos los casos anteriores en los que esté la carta 6, la carta 7 o ambos). Estos son 11 de 21 (11/21), mientras que el resto de caso (no hay ningún as) son 10 de 21 (10/21), que claramente es menor que el caso anterior.
* Para la segunda pregunta, en efecto, hay que usar la probabilidad condicionada, pero no has terminado haciendo los cálculos bien. La respuesta sería:
P(1ª carta As y 2ª carta As) = P(1ª As) * P(2ª As sabiendo que la 1ª ha sido As) = 2/7 * 1/6 = 2/42 = 1/21 = 0,047 => 4,7%.
Al sacar dos cartas es mas probable que no salga un as, porque al haber 2 ases en 7 cartas, hay que calcular el porcentaje haciendo 2/7 dando como resultado 0,29 que es un 29% y al ser menor del 50% es menos probable que salga un as.
ResponderEliminarAl salir un as y sacar otra carta hay un 17% de probabilidad de sacar otro as porque al haber 1 as en otras 6 cartas, hay que calcular 1/6 que da 0,17 que es un 17%
Hola, tu respuesta no es correcta. No has contado bien todas las formas de seleccionar 2 cartas de entre 7.
EliminarSi numeramos las cartas del 1 al 7. Contamos que hay 21 formas de coger 2 cartas (la 1 y la 2, la 1 y la 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 1 y 7, 2 y 3, 2 y 4, ..., 6 y 7).
Si suponemos que los 2 ases son las cartas 6 y 7, podemos contar todos los casos en los que hay al menos un as (esto es, todos los casos anteriores en los que esté la carta 6, la carta 7 o ambos). Estos son 11 de 21 (11/21), mientras que el resto de caso (no hay ningún as) son 10 de 21 (10/21), que claramente es menor que el caso anterior.
Para la segunda pregunta, hay que utilizar probabilidad condicionada:
P(1ª carta As y 2ª carta As) = P(1ª As) * P(2ª As sabiendo que la 1ª ha sido As) = 2/7 * 1/6 = 2/42 = 1/21 = 0,047.
Para saber l a respuesta a la primera pregunta hay que dividir el número de ases entre el numero de cartas totales(2÷7=0,29---->29%), entonces es mas probable que al levantar una carta no sea as.
ResponderEliminarRespecto a la siguiente pregunta, si hubiera ya un as levantado habría que hacer la siguiente cuenta numero de ases restantes entre numero de cartas totales sin contar la carta ya levantada(1÷6≈0,19--->19%), lo que nos quiere decir es que al ya haber una carta ya levantada que sea as las probabilidades de que salga otro as son todavía mas bajas, en conclusión, la probabilidad de que la segunda carta también fuera es seria de 19% aproximadamente.
Hola Juan Manuel, tu respuesta no es correcta. No has contado bien todas las formas de seleccionar 2 cartas de entre 7.
EliminarSi numeramos las cartas del 1 al 7. Contamos que hay 21 formas de coger 2 cartas (la 1 y la 2, la 1 y la 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 1 y 7, 2 y 3, 2 y 4, ..., 6 y 7).
Si suponemos que los 2 ases son las cartas 6 y 7, podemos contar todos los casos en los que hay al menos un as (esto es, todos los casos anteriores en los que esté la carta 6, la carta 7 o ambos). Estos son 11 de 21 (11/21), mientras que el resto de caso (no hay ningún as) son 10 de 21 (10/21), que claramente es menor que el caso anterior.
Para la segunda pregunta, hay que utilizar probabilidad condicionada:
P(1ª carta As y 2ª carta As) = P(1ª As) * P(2ª As sabiendo que la 1ª ha sido As) = 2/7 * 1/6 = 2/42 = 1/21 = 0,047.
Para hallar la probabilidad para sacar el primer as, hay que dividir el numero de ases entre el numero de cartas(2/7) lo que da 0,29 lo que es un 29% de sacar el primer as ,por lo que es menos probable sacar un as que no sacarlo.
ResponderEliminarPara hallar la probabilidad de sacar un segundo as hay que volver a hacer la división de el numero de ases entre el numero de cartas que quedan(1/6) dando como resultado aproximadamente 0,17 lo que es aproximadamente un 17% de sacar un segundo as.
Hola Yeray, tu respuesta no es correcta. No has contado bien todas las formas de seleccionar 2 cartas de entre 7.
EliminarSi numeramos las cartas del 1 al 7. Contamos que hay 21 formas de coger 2 cartas (la 1 y la 2, la 1 y la 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 1 y 7, 2 y 3, 2 y 4, ..., 6 y 7).
Si suponemos que los 2 ases son las cartas 6 y 7, podemos contar todos los casos en los que hay al menos un as (esto es, todos los casos anteriores en los que esté la carta 6, la carta 7 o ambos). Estos son 11 de 21 (11/21), mientras que el resto de caso (no hay ningún as) son 10 de 21 (10/21), que claramente es menor que el caso anterior.
Para la segunda pregunta, hay que utilizar probabilidad condicionada:
P(1ª carta As y 2ª carta As) = P(1ª As) * P(2ª As sabiendo que la 1ª ha sido As) = 2/7 * 1/6 = 2/42 = 1/21 = 0,047.