El despertador Pifostio
Idea obtenida de "Cuentos matemáticos de Alicia Yaiza"
Por ser cotimátic@ de honor, te regalan un exclusivo despertador, con forma de cilindro, y superficie táctil que permite la escritura.
La primera noche, cuando dormías plácidamente, empieza a emitir un molesto sonido "Pi, Pi, Pi, Pi..." que no te deja dormir. Por mucho que lo tocas, no cesa el sonido. Observas que se ilumina en rojo una zona del despertador y puede leerse la indicación "usa Pi". Como eres un cotimático de nivel, rápidamente te percatas de que la zona iluminada es una circunferencia y se te ocurre escribir "2 π r " porque sabes que esa es la fórmula de la longitud de la circunferencia. Inmediatamente el despertador deja de Pitar.
La segunda noche, a la misma hora, vuelve el "Pi, Pi, Pi, Pi..." y observas que se ilumina en rojo otra zona del despertador y puede leerse, de nuevo, la indicación "usa Pi".
¿Sabrías cómo pararlo esta vez?
Pista: Abre completamente el cilindro hasta obtener su desarrollo plano y deja que Pitágoras te ayude...
Recuerda que para obtener la máxima puntuación debes explicar los mejor posible tu solución.
El desafío dice que el día 1 le pide el perímetro de la circunferencia que es 2 por pi por el radio, el segundo día le pide calcular una línea que rodea el cilindro. Si hacemos una línea perpendicular a la base que comience en uno de los extremos de la línea podemos observar que los dos extremos de la línea parten de la línea perpendicular a la base que es en realidad es la altura del cilindro que tiene un valor de 2 por pi por el radio que es igual a el perímetro de la base.
ResponderEliminarEso nos puede llevar a la conclusión de que si partimos desde la derecha de la línea perpendicular a la base podemos observar que la base, la línea de altura del cilindro y la línea iluminada toja forman un triangulo.
Este es un triangulo rectángulo donde los catetos son iguales (base y altura) y tenemos que averiguar la hipotenusa ( línea luminosa roja) teniendo en cuenta el teorema de pitágoras:
Sustituimos el cateto uno elevado al ² por la altura y el cateto dos elevado a ² por la base.
Estos se suman y la solución sería la hipotenusa al cuadrado.
p=n°pi
.=multiplicacion
h= parte iluminada del cilindro en el día 2.
h²=(2.p.r)²+(2.p.r)² --> reducido : h²=2(2.p.r)²
h²=8.p².r²
h=raíz de (2³.p².r²)
h= 2.p.r. raíz de 2
SOLUCIÓN: para parar el pitido hay que hacerlo con "2 por pi por el radio por raíz de 2"(2.p.r. raíz de 2)
¡Muy bien María! Bien resuelto y bien explicado.
EliminarMe alegra de que participes por primera vez. Espero que resuelvas el próximo desafío, que es el último de esta edición, y que te animes a participar en la próxima edición, desde el principio.
¡Un saludo!
La solución es 2πr •2πr : 2 ; porque la zona iluminada forma un triángulo y he empleado la fórmula del área del triángulo ( b•h:2) . En este caso la base y la altura coinciden porque la línea divide en dos al cuadrado con una diagonal.
ResponderEliminarHola Lucía, me alegra mucho que participes por primera vez. En esta ocasión, tu respuesta no es correcta (puedes ver la respuesta correcta de otros participantes). Espero que resuelvas el próximo desafío, que es el último de esta edición, y que te animes a participar en la próxima edición, desde el principio.
Eliminar¡Un saludo!
Sabiendo que el primer día la línea era el perímetro del círculo y 2πr es la fórmula para calcularlo. He llegado a la conclusión de que hay que escribir la fórmula para calcular la longitud de la línea roja. Como en este caso la línea roja cruza el cilindro de forma que al abrirlo se queda como la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa compartida por dos triángulos, los cuales los catetos miden 2πr. He usado el teorema de Pitágoras, que dice:
ResponderEliminara²=b²+c², que en este problema sería
l²=(2πr)²+(2πr)² Hago el cuadrado
l²=4π²r² + 4π²r² Lo sumo
l²=8π²r² Hago raíz cuadrada a ambos lados
l=πr·√8
Habría que escribir πr·√8 , ya que es la máxima simplificación posible del teorema de pitágoras en este caso.
Bien resuelto y explicado Oscar. En este caso, se podría simplificar un poco más teniendo en cuenta que raíz de 8 = 2 * raíz de 2. Luego, podría escribirse:
Eliminar2 * raíz de 2 * Pi * r
Para apagar el despertador, debemos escribir lo siguiente: 2√2* ∏* r. Esto es así porque:
ResponderEliminarEl ejercicio nos dice que, al igual que la circunferencia, el alto mide 2∏r. Por lo tanto, al hacer el desarrollo plano del cilindro nos queda un cuadrado cuya diagonal es la línea roja que se ha iluminado. Dicha línea divide el cuadrilátero en dos triángulos rectos, por lo que ya solo habría que escribir el teorema de Pitágoras y simplificar (llamando a la línea roja h):
2^2∏^2r^2 +2^2∏^2r^2 = h^2; 8∏^2r^2 = h^2;
h= √8∏^2r^2 (entiéndase que la línea de la raíz cubre todos los números).
Si nos quedáramos aquí, habría que escribir √8∏^2r^2, pero la raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores mencionados anteriormente, por lo que sería más adecuado escribir √8 * √∏^2 * √r^2 = √8 *∏ * r = √2^2*2 (la raíz llega hasta este dos)*∏ * r=
2√2* ∏* r.
Bien resuelto Sergio, aunque la expresión es un poco farragosa.
EliminarBuenas noches. Mi nombre es Martín Ávila Moyano. Soy alumno del IES Maimónides del curso 2ºESO-C. Esta es la respuesta que propongo para el desafío de este mes.
ResponderEliminarLa primera noche cuando suena el despertador, simplemente hay que aplicar una sencilla fórmula (que da como resultado la longitud de la circunferencia que se ha iluminado de color rojo) para que este deja de sonar.
La segunda noche, sin embargo, se ilumina otra zona de color rojo del despertador, y puede leerse una inscripción que dice: “usa Pi”.
Para averiguar cómo hacer que el despertador dejase de sonar he aplicado el teorema de Pitágoras, el cual explica que, en todo triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Por ello, he sacado la siguiente conclusión.
1.- Al abrir el cilindro obtenemos un rectángulo, el cual he dividido en dos triángulos rectángulos.
2.- Tras esto, he aplicado la fórmula que recita el teorema de Pitágoras: a² +b² = c² .
3.- Cambiando las letras por números, daría la siguiente fórmula: 2πr² + 2πr²= r² + 2πr² + 2πr².
4.- En resumen, creo que la fórmula que habría que usar la segunda noche sería: 2πr² + 2πr²= r² + 2πr² + 2πr².
Un saludo.
Martín, lo has planteado correctamente, pero no has llegado a la expresión que haría que el despertador dejara de sonar. Esta es: 2 * raíz de 2 * Pi * r.
EliminarPara averiguar la fórmula y apagar el despertador he hecho lo siguiente:
ResponderEliminarSabemos que el perímetro de la primera zona iluminada es 2πr y si abrimos el cilindro como si fuera una servilleta, la zona iluminada es la línea superior, que la llamaremos “cateto a”. Nos dan el dato de que el otro cateto tiene la misma longitud que el cateto a y la nueva zona iluminada es la hipotenusa. Por lo que aplicaremos el teorema de pitágoras para hallar la fórmula. (a²=b²+c², la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos).
Para apagar el despertador utilizaría la siguiente fórmula: h=√(2πr)+(2πr), es decir que la hipotenusa, osea la nueva zona iluminada, es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos.
Alicia, lo has planteado bien pero no lo has terminado de resolver adecuadamente. No has obtenido la expresión que habría que escribir para que el despertador dejara de sonar. Esta expresión sería:
Eliminar2 * raíz de 2 * Pi * r.
La segunda y tercera imagen nos da como dato que la altura del cilindro es 2πr y la circunferencia de la primera imagen también es 2πr, por tanto, al abrir completamente el cilindro nos queda un cuadrado cuyos lados equivalen a 2πr. Al dividir dicho cuadrado mediante la línea roja, nos quedan dos triángulos rectángulos en los que la línea roja es la hipotenusa y los catetos, los lados del cuadrado.
ResponderEliminarComo queremos averiguar a cuánto equivale la linea roja, es decir, la hipotenusa del triángulo rectángulo, utilizamos el Teorema de Pitágoras (el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos):
x= línea roja
2πr= cateto
x²= (2πr)² + (2πr)²
x²= 4π²r² + 4π²r²
x²= 8π²r²
x= √(8π²r²)
Por tanto, la expresión de Pi que usamos para referirnos a la línea roja es √(4π²r² + 4π²r²).
Otra manera de expresarlo sería interpretando 2πr como πd, siendo d el diámetro (el radio multiplicado por 2), en cuyo caso nos quedaría:
x²= (πd)²+(πd)²
x²= π²d²+π²d²
x²= 2π²d²
x= √(2π²d²)
Por tanto, la expresión de Pi que usamos para referirnos a la línea roja es √(2π²d²).
Eugenia, lo has planteado y resuelto correctamente, aunque no has simplificado la respuesta al máximo, para obtener la expresión que haría que el despertador dejara de sonar. Esta expresión sería:
Eliminar2 * raíz de 2 * Pi * r.
SOLUCIÓN RECIBIDA POR EMAIL EL 01/04/2023
ResponderEliminarBuenas tardes profe, para este desafío he encontrado esta solución. Como vemos en la imagen, la fórmula mostrada representa el una parte del área lateral de un cilindro, a la cual tendríamos que añadirle la altura y quedaría 2πrh pero como pide la mitad dividiriamos entre dos dando como solución final:
πrh
Un cordial saludo.
Hugo, la respuesta no es correcta, además de no estar bien explicada. ¡Ánimo y a por el último desafío!
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